Вот прохладную погоду с легкостью переношу, а вот холодную воду нет. И сам расстраиваюсь, если отпуск на весну или начало лета выпадает. Но, можно и какие-нибудь красоты больших городов посмотреть в это время. Взять тот же Питер. Можно себе туда поездку организовать, узнать город поближе, обойти все музеи, побывать в интересных пригородных местах. Взять тот же Кронштадт. Небольшое поселение на острове, а столько всего там интересного и исторического, что только там пару дней гулять можно. И там даже остаться можно, гостиницы то есть. Главное всё заранее спланировать, чтоб поездка была более комфортная и не обломались со временем отправки туда, со временем посещения достопримечательностей и тд. Можете, к примеру, смотреть из Петербурга в Кронштадт на метеор расписание тут https://meteorkronshtadt.com/ . Чтоб знать, когда туда поплыть, когда обратно вернуться. 

В плане моря да, в это время года вода прогревается до +20 максимум, и то, если повезёт. Но городской туризм тоже отличная идея. Можете южнее ещё съездить, в ту же Абахзию, там потеплее, чем в Сочи том же. Но опять же, как повезет. Если будет дождливая весна, то сильно море теплым не будет. 

Так море же не только в Крыму или Краснодарском крае. Тем более, там очень даже не дешевые курорты. А почему бы за границу не слетать. Та же Турция в этом плане интереснее. Там много всего бесплатного, точнее включено в путевку, плюс и море в это время уже очень тёплое, ну и культуру другой страны узнаете, кухню ту же местную. Посмотрите туры на отдых в Турции здесь https://intourist.ru/info/turkey/. И если всё в порядке с документами, то почему бы и туда не рвануть?!

Не знаю, но в последние годы достаточно жарко в Крыму уже в середине мая. Там пляжи местными уже забиты в это время. Вот летом местных уже не встретишь, все уходят в сферу обслуживания им не до отдыха на пляжах. 

Да в начале июня море в Крыму как парное молоко. Вполне можно купаться. Солнце уже жарит там вовсю, так что вода у побережья достаточно быстро прогревается. Если не ходить на пляж рано-рано утром и поздно вечером, то никакого дискомфорта нет. Днём купаешься в абсолютно теплой воде. Я и люблю в июне туда ездить, так как не столько народу, сколько потом в июле и августе. И места в отелях есть всегда. И вообще лучше бронировать, конечно, заранее. Мы уже на начало июля забронировали апартаменты в Евпатории тут https://hotel-uyut.com/cat . И думаю, что классно отдохнём.